未發布 Claude 在試攻黎曼猜想時順手推進了相關下界
Anthropic 在研究公告裡描述了一場「不合理的挑戰」：一名並非數學家的員工 Jarred Sumner，要一個未發布的研究版 Claude「認真試攻黎曼猜想」。黎曼猜想自 1859 年提出至今未解，是克雷數學研究所的千禧年大獎難題之一。Claude 並沒有證出黎曼猜想，但在過程中把一個相關的下界，從 41.6% 推進到 67.2%——也就是「黎曼 zeta 函數的非平凡零點中，有多少比例落在臨界線上」這道長期問題的已知最佳下界。
這個結果的論文標題本身就把結論講明白：《More than two thirds of the zeros of the Riemann zeta function lie on the critical line》。它是在兩次 Claude Code 工作階段中找到的，總共用了 3,100 萬個 output tokens。第一輪 Claude 嘗試了 650 個想法，全部行不通；Jarred 要它再試一次，於是它花了一天半協調大約 60 個 subagents，總計執行 2,400 次指令、寫了數百個 Python 腳本，並下載 54 篇 arXiv 論文，確認自己的結果沒有人已經做過。Jarred 的介入大多只是反覆傳話鼓勵，要它「繼續下去」「相信自己」。
黎曼猜想與「臨界線上的零點比例」在問什麼
黎曼 zeta 函數與質數的分布密切相關：函數取值為零的每個位置，都為質數序列添上一層更細的結構。1859 年的黎曼猜想主張，決定質數行為的那些「非平凡零點」，全部落在一條垂直的臨界線上，也就是實部等於 1/2 的那一條。
至今沒有人能證明或推翻它，但數學家從兩個方向累積進展。其一是數值檢查，目前已驗證最先的數十兆個零點都落在線上，可是這只能涵蓋有限範圍。其二是理論下界：證明「至少有某個比例的非平凡零點落在臨界線上」，而且這個比例對任何高度的零點都成立。這次被推進的，正是第二條路線上的那個比例下界。
從 41.6% 到 67.2%：停滯十餘年的下界被推進
這個下界是一段超過半世紀的推進史。1914 年 Hardy 首先證明臨界線上有無限多個零點；1942 年 Selberg 把它推進到「某個正比例」；1974 年 Levinson 給出第一個明確的大常數，超過三分之一（約 34.74%）；1989 年 Conrey 推到超過五分之二（約 40.88%）；2011 年 Bui、Conrey 與 Young 再推到超過 41%。其後十餘年，這個數字只在邊際上緩慢推移，來到大約 41.6%。
然後 Claude 一次把它推到 67.2%。在最佳化的測試族下，論文給出的常數是 0.6725；換句話說，非平凡零點當中、落在臨界線上的比例，被證明至少有這麼多。相較於過去十餘年只在 41% 附近盤桓，這是 25 個百分點以上的跳升。
Claude 的做法：用線性代數取代對黎曼猜想的依賴
這個結果之所以成立，關鍵在於 Claude 換掉了一個過去非得依賴黎曼猜想的步驟。Claude 的論文在技術層面上是這樣說的：傳統上要把「零點那一側」讀成對實數縱座標的正值求和，必須先假設黎曼猜想；Claude 改用線性代數，去處理 Weil 厄米形式的一個有限壓縮——透過 Sylvester 慣性律，加上一個用 von Neumann 跡不等式證出的厄米矩陣秩-跡不等式，來取代那一步。
用白話講：它把整個函數空間一起看，同時考慮「在線上」與「不在線上」兩類零點所貢獻的正定與負定部分，並允許那個二次形式不必是對角的，再寫下一個關於秩的不等式。Anthropic 的描述也點出，「敢於把整個空間一起處理」正是讓它能跨過前人門檻的那一步。值得強調的是，整個證明是無條件的，不假設黎曼猜想，而且對所有高度的零點漸近成立。
驗證鏈：內部數學家、外部專家與 Lean 形式化
一個AI 自己產出的數學證明，可信度取決於驗證。這次有兩層人審：Anthropic 自己的兩位數學家 Levent Alpöge 與 Ralph Furman 讀過並理解了這個結果，寫成一份給專家的精簡筆記；外部兩位這個領域的專家 Brian Conrey 與 Dan Goldston 也在短時間內審視了論文。Brian Conrey 正是 1989 年把下界推到「超過五分之二」的那位學者。
更硬的保證來自形式化。Claude 與另一名員工 Eric Easley 合作，把結果寫成 Lean 4 證明，發布在 anthropics/zeta-23-lean 倉庫，並能通過 leanprover/comparator 這個獨立的可信驗證工具——它會檢查證明確實證明了指定的敘述、只用了允許的公理，並被 Lean 核心接受。換句話說，這不是「AI 自稱證對了」，而是一份可被機器獨立檢驗的證明。不過 Ralph Furman 本人在 Hacker News 上的補充說明也把話說清楚：他與 Alpöge 的角色比較像「高度關切的審查者」，會為這份結果負起數學責任，並承諾會把論文潤飾到可以正式發表。
不是證明黎曼猜想，也不代表 AI 已能通用做數學
有幾個界限必須畫清楚。第一，這不是黎曼猜想的證明；Anthropic 自己也明說，不預期 Claude 用的這套技術會導向黎曼猜想的證明。第二，即使這個比例下界有朝一日推到 100%，它仍然嚴格弱於黎曼猜想——因為它是漸近結果，只保證「違反猜想的零點比例隨高度趨近於零」，並不排除存在少數偏離的零點。
第三，這是一個特定問題上的、由特定規模的多智能體過程催生的單點突破，不代表 Claude 或任何模型已經能穩定地從事開放式的數學研究。Anthropic 把它定位為「AI 模型數學能力進展速度」的又一個訊號——連 Claude 自己一開始都對能否有意義地推進這個問題抱持懷疑，是在反覆的鼓勵提示下才走到這個結果。但一個停滯十餘年的解析數論下界，被一個未發布的模型在兩個工作階段裡推進 25 個百分點以上，這個訊號本身已經夠清楚。
